第一百六十八章勒让德函数的多项式微积分第1页_数学选择性必修一_蔡泽禹

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勒让德教授贝塞尔二阶微分方程相关知识。

贝塞尔说：“你这个多项式是从哪里来的？”

勒让德说：“从勒让德方程推导出来的。”

贝塞尔说：“勒让德方程是从哪里来的？”

勒让德说：“从连带勒让德方程得到的，这个方程在m值为0，也就是在轴对称情况下得到的。在球函数方程分离变量时，可出现连带勒让德方程。”

贝塞尔说：“连带勒让德方程又是什么东西？”

勒让德说：“连带勒让德方程是一个二阶常微分方程。”

贝塞尔说：“二阶常微分方程是这个样子吗？”

贝塞尔说着，写出了方程：y+py+qy=0。

勒让德说：“这是齐次的的二阶常系数线性微分方程。”

勒让德写了方程y+py+qy=f（x），这个是二阶常系数线性微分方程，对贝塞尔说：“还必须是其中y1和y2的比值为常数才可以，如果不是常数，就是非齐次的。”

贝塞尔说：“你是研究这些方程解法的吧？一般有哪些方法？”

勒让德说：“有待定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。”

贝塞尔说：“二阶常系数线性微分方程如何解呢？”

勒让德说：“先写出特征方程。”

勒让德写出了y+py+qy=0的特征方程r^2+pr+q=0。

然后写出特征方程的解后，然后写出三种条件下的通解：

1.两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）+C2e^（r2x）

2.两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）

3.一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^（αx）*（C1cosβx+C2sinβx）

贝塞尔说：“那如何得到非齐次的解？”

勒让德说：“通解等于非齐次方程特解加齐次方程通解。”

贝塞尔说：“这个有什么用吗？”

勒让德说：“在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。”

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