第五百二十七章佐恩引理集合论第1页_数学选择性必修一_蔡泽禹

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康托尔发现集合论后，提出集合论有互异性、确定性和无序性后，有的数学家耻笑康托尔集合无序性的原则。对康托尔说：“无序性会有什么作用？”

康托尔反驳：“我们把东西堆在一起，形成一个集合就行，不需要给他排序。”

克罗内克笑道：“你研究集合论是研究有理数和无理数个数时开始的，对数字不讲顺序，你着集合算什么数学？是个不知大小没有高低的东西？那证明里的归纳法如何用集合问题取解决？”

康托尔这时才深深的感觉到，良序定理是“思维的基本原理”。他对数学家们说：“所有集合都可以被良序排序。”

康托尔不仅仅要面对一般的数学归纳法，还要面对超限归纳法，数学归纳法时后继序数，而超限归纳法不是后继序数。

策梅洛提出了良序定理，其内容表述为对任何集合S，存在S上的二元关系R，使得是良序集。

良序定理是非常重要，因为它确保所有集合适用超限归纳法的强力技术。

后来为了证明良序定律，策梅洛提出了选择公理，表述为设C为一个由非空集合所组成的集合。那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。

要证明选择公理，并非一件容易的事，其中一个原因是选择公理不单是一条简单的数学命题，而是牵涉较基层的数学──集合论。而集合论正就是数学的基础理论，所以在证明时，工具也会较少。

而这里又出现了新情况，就是左恩引理的出现。

佐恩引理在1922年首先被库拉托夫斯基所发现，1935年佐恩亦独立地发现此结论。

表述是在任何一非空的偏序集中，若任何链（即全序的子集）都有上界，则此偏序集内必然存在（至少一枚）极大元。

佐恩引理，良序定理和选择公理彼此等价，在集合论的公理基础上，上述三者中从任一出发均可推得另外两个。

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