第五百一十七章阿达马矩阵矩阵第1页_数学选择性必修一_蔡泽禹

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雅克·所罗门·阿达马为了解决一些数学问题，提出了阿达马矩阵。

阿达马矩阵是一个方阵，每个元素都是+1或?1，每行都是互相正交的，常用于纠错码，如Reed-Muller码。

n阶的阿达马矩阵H满足HH^T=nIn，其中In是n阶单位矩阵。

提出这个矩阵后，西尔维斯特提出西尔维斯特构造。

阿达玛说：“我想说明这是一个矩阵的单位的寻找，或者是矩阵的逆的寻找。”

西尔维斯特说：“我可以拿假设H是一个n阶的阿达马矩阵，则下面的矩阵。”

西尔维斯特直接把很多H和-H写入一个矩阵中，然后再换算为1和-1的样子，继续说：“这也是阿达马矩阵。”

阿达马说：“有趣。”

西尔维斯特说：“他们都是对称矩阵，并且这些矩阵的迹都是0。第一行和第一列的元素都是+1，其他各行各列的元素都是一半+1，一半-1。”这些矩阵和Walsh函数有密切的关系。

阿达马说：“我猜想，对于每个4的倍数n=4k，k为自然数，都存在n阶的阿达马矩阵。”

西尔维斯特说：“我可以构造法给出了阶数为1，2，4，8，16，32等等的阿达马矩阵。”

阿达马说：“我可以构造阶数为12和20的阿达马矩阵。”

后来。RaymondPaley随后给出了任何q+1阶的阿达马矩阵的方法，其中q是任何模4为3的质数任意次幂。

他也给出了形式为2（q+1）的阿达马矩阵的方法，其中q是任何模4为1的质数任意次幂。他使用了有限域的办法得出了这些结论。

2004年6月21日HadiKharaghani和BehruzTayfeh-Rezaie宣布他们构造出了428阶的阿达马矩阵。

最小的尚未被构造出来的4k阶阿达马矩阵是668阶。

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