第二百三十九章柯西方程是加性函数方程方程学第1页_数学选择性必修一_蔡泽禹

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常常有人说柯西是个奇葩，是一个不正常的怪人，甚至有人认为他是神经质的。

常给人一种膈应的感觉。

柯西也常常思索，自己的不正常是不是伤害了很多的人，是不是会坏掉自己的大事？

但是搞科学的人，又有几个是真正的正常人，他们都从事的是以数学和物理为主的事业，不会太喜欢跟人打交道的，所以有几分不正常也是正常的。

法国需要懂数学的人，那就是需要的是奇葩，如果不是个奇葩，就是个世俗功利的人，那种人有什么用途？难道法国的未来仅仅是要更多的世俗功力的人吗？什么创造力都没有，就领一点点薪水了此一生。这种人活着的意义是什么？

柯西陷入深思，很多函数的相加直接导致了函数性质的变化。

柯西开始寻找一种加过之后没有改变性质的函数。

这就是加性函数，可以表示为f（x+y）=f（x）+f（y）。

柯西知道，一般在正比例函数f（x）=cx情况下会满足这一点。

柯西在1821年证明f是连续的函数，后来在1875年被达布将条件减弱为f在某点连续。

存在a，b∈R，（a

f单调，或f在某开区间单调。

存在ε1>0，使得x∈[0，ε1]，有f（x）≥0，或者存在ε2>0，使得x∈[0，ε2]，有f（x）≤0

如果没有其他条件的话，假如承认选择公理成立，那么有无穷非f（x）=cx的函数满足该条件，这是1905年哈默（GeorgHamel）利用哈默基的概念证明的。

后来哈默尔和勒贝格知道还有其他类型的方程也满足加性函数条件。

希尔伯特第五问题是该方程的推广

存在实数c使得f（cx）≠cf（x）解称为柯西-哈默方程（Cauchy-Hamelfunction），希尔伯特第三问题中，从3-D向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（Dehn-Hadwigerinvariant（s）），其中就用到柯西-哈默方程。

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